17.9
直线与圆锥曲线
联立方程研究交点、弦长、中点以及定点定值问题。
本文章目录
01 · 出发点
直线穿过圆锥曲线时留下什么
直线与圆锥曲线联立后，通常得到一元二次方程。它的根对应交点的某个坐标，判别式对应公共点个数，根的和与积则能在不逐个求根时处理弦中点和定值。
弦长不能简单等于两个横坐标之差，除非弦平行于 x 轴。一般直线 y=kx+b 上两点的距离应结合斜率乘上 √(1+k^2)。
02 · 概念
联立方程、判别式与韦达关系
将直线代入圆锥曲线，得到 Ax^2+Bx+C=0。若 A≠0，则 Δ>0 有两个交点，Δ=0 相切，Δ<0 无实交点；还需保证原曲线和参数没有额外限制。
若交点横坐标为 x_1、x_2，韦达定理给出 x_1+x_2=-B/A、x_1x_2=C/A。直线斜率为 k 时，弦长为 √(1+k^2)|x_1-x_2|。
03 · 方法
消元后研究交点与弦
- 01
把直线方程代入圆锥曲线并整理成一元方程，确认二次项系数及判别式。
- 02
按目标选择求根或使用韦达定理，恢复另一坐标并检查交点满足两个原方程。
- 03
求中点取坐标平均，求弦长使用两点距离或斜率弦长公式，最后核对非负性。
04 · 例题
把方法落到具体问题
直线 x=y+2 与抛物线 y^2=4x 相交于 P、Q，求弦 PQ 的中点和长度。
解
- 1
代入 x=y+2 得 y^2=4(y+2)，即 y^2-4y-8=0，判别式 48>0，故有两个交点。
- 2
解得 y_1=2+2√3、y_2=2-2√3；对应 x_1=4+2√3、x_2=4-2√3，所以中点为 (4,2)。
- 3
两坐标差的绝对值都为 4√3，故 |PQ|=√[(4√3)^2+(4√3)^2]=4√6。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 直线与圆锥曲线的位置关系可转化为一元二次方程根的情况。
- 韦达定理适合处理交点和、积、中点及定值，无需总是显式求根。
- 弦长必须依据两点距离，并检查联立方程是否发生退化。