17.1
轨迹与方程
把动点满足的几何条件转化为坐标方程。
本文章目录
01 · 出发点
从运动条件追踪所有可能位置
动点在运动过程中满足某个不变条件，所有可能位置组成轨迹。坐标法把“不变距离”“固定方向”等几何条件转化为含 x、y 的方程。
轨迹方程必须具备双向对应：轨迹上的每个点都满足方程，方程的每个实数解也都对应允许的轨迹点。只完成一个方向会产生漏解或增解。
02 · 概念
轨迹、纯粹性与完备性
求轨迹方程通常先建立合适坐标系，设动点 M(x,y)，再把几何条件用距离、斜率或向量关系表示并化简。最后注明坐标范围或删除不合条件的点。
“由条件推出方程”说明必要性，“由方程还原条件”说明充分性。平方、约分和两边同乘含变量式都可能改变解集，因此要进行回代与几何复核。
03 · 方法
建系、翻译条件并检验
- 01
建系设点：让定点、对称轴或定直线具有简单坐标，设动点 M(x,y)。
- 02
翻译化简：把几何条件写成坐标关系，进行等价变形并记录分母、根式等限制。
- 03
检查完备性：回代验证充分性，剔除增根，补充端点、象限或参数范围并识别曲线。
04 · 例题
把方法落到具体问题
已知 A(-2,0)、B(2,0)，求与 A、B 距离相等的动点 M(x,y) 的轨迹方程。
解
- 1
由条件 MA=MB，写成 √[(x+2)^2+y^2]=√[(x-2)^2+y^2]。
- 2
两边均非负，平方并消去 y^2：x^2+4x+4=x^2-4x+4，故 8x=0。
- 3
得到 x=0。反过来，任一点 (0,y) 到 A、B 的距离都为 √(4+y^2)，所以没有增点。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 轨迹是满足给定条件的全部点组成的集合。
- 坐标法通过设点、翻译条件和等价化简建立轨迹方程。
- 必要性与充分性检查共同保证方程既不漏点也不增点。