1.2 集合的表示 | 笛卡尔数学

01 · 出发点

同一个集合可以使用不同语言

“所有大于 -2 且不超过 3 的实数”含有无穷多个元素，逐个写出并不现实。我们需要一种方法直接说明元素的共同条件；当研究对象恰好是连续的实数范围时，还希望一眼看出左右边界是否包含。

因此，表示集合的核心并不是记住固定格式，而是选择一种能准确显示对象范围、筛选条件和边界的方法。

02 · 有限对象

列举法：直接写出全部元素

把集合中的元素一一写在花括号内，这种表示方法称为列举法。有限集合通常完整列出；无限集合只有在延续规则已经明确时，才配合省略号表示。

A=\{1,4,9,16,25\}

列举法最适合元素较少、能够完整写出的有限集合。由于元素具有无序性，书写顺序可以调整；由于元素具有互异性，同一元素只写一次。

03 · 共同条件

描述法：写出对象范围和筛选条件

一般地，若集合中的元素都来自集合 $S$ ，并且满足条件 $P(x)$ ，可以写成：

A=\{x\in S\mid P(x)\}

竖线左侧说明“元素是什么、来自哪里”，右侧说明“它必须满足什么条件”。例如：

\{2,4,6,8,\ldots\}=\{x\in\mathbb N^*\mid x\text{ 是偶数}\}

04 · 连续范围

区间和数轴显示实数边界

对连续的实数范围，区间表示最简洁。圆括号表示端点不属于集合，方括号表示端点属于集合； $+\infty$ 和 $-\infty$ 不是实数端点，因此与它们相邻的一侧始终使用圆括号。

下表约定 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a<b$ 。

条件	区间	端点
$a<x<b$	$(a,b)$	两端都不含
$a\leq x\leq b$	$[a,b]$	两端都包含
$a\leq x<b$	$[a,b)$	左含右不含
$x\geq a$	$[a,+\infty)$	包含有限端点 a

实心端点表示包含 -2，空心端点表示不包含 3，因此图中集合为 [-2,3)。

05 · 选择

选择能让边界最清楚的表示

表示方法	适合情形	阅读重点
列举法	元素较少，能够完整写出	是否列全、是否去重
描述法	元素较多，具有统一条件	对象范围与筛选条件
区间	连续的实数范围	端点大小与开闭
数轴或维恩图	需要观察位置、包含或重叠	图形边界与符号对应

多种表示并不互相排斥。正式推理常用描述法，计算结果常用区间，检查边界时再画数轴。同一个集合在不同表示之间往返，是学习集合的核心能力。

06 · 例题

在表示之间逐步转换

用列举法表示 $B=\{n\in\mathbb Z\mid |n-1|\leq2\}$ 。

解

1
绝对值条件等价于 $-2\leq n-1\leq2$ 。
2
各部分同时加 1，得到 $-1\leq n\leq3$ 。
3
由于 $n\in\mathbb Z$ ，只列出范围内的整数： $B=\{-1,0,1,2,3\}$ 。

用描述法表示集合 $A=\{1,4,9,16,25\}$ 。

解

1
观察到每个元素都是正整数的平方： $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2$ 。
2
选择正整数 $n$ 作为生成元素的变量，并限制 $1\leq n\leq5$ 。
3
写成 $A=\{n^2\mid n\in\mathbb N^*,\ 1\leq n\leq5\}$ 。

把 $C=\{x\in\mathbb R\mid -2<x\leq3\}$ 改写为区间。

解

1
左端条件 $x>-2$ 排除 -2，因此左侧用圆括号。
2
右端条件 $x\leq3$ 包含 3，因此右侧用方括号。
3
结果为 $C=(-2,3]$ 。数轴上 -2 画空心点，3 画实心点。

07 · 边界检查

范围和端点决定集合

最稳妥的检查方式是任选边界点代回条件。例如看到 $(-2,3]$ ，分别代入 -2 与 3：前者不满足，后者满足，区间开闭便得到了验证。

回看

本节小结

列举法适合能够完整列出的有限集合
描述法必须同时交代对象范围和筛选条件
连续实数范围可以用区间和数轴简洁表示
一种表示是否合适，取决于它能否清楚显示集合边界

各卷考点范围

全国新高考 I 卷

全国新高考 II 卷

北京卷

天津卷

浙江卷

上海卷

集合的表示