诱导公式

01 · 出发点

利用单位圆对称性把任意角化到熟悉角

任意角可能包含多圈旋转或落在不同象限，但单位圆上的平移一周、关于坐标轴对称和关于原点对称都具有简单坐标规律。诱导公式把这些规律转成三角函数关系。

化简时先处理整周，再识别角与参考锐角的关系，最后结合象限确定符号。这样比孤立记忆大量公式更可靠。

02 · 概念

周期、对称与符号

正弦、余弦以 2π 为周期，正切以 π 为周期。加 π 会把单位圆点变为关于原点的对称点，因此正弦、余弦变号，而正切不变。

角 -α 对应关于 x 轴对称，故 sin(-α)=-sin α、cos(-α)=cos α；角 π-α 对应关于 y 轴对称，故正弦不变、余弦变号。余角关系给出 sin(π/2±α)=cos α、cos(π/2-α)=sin α、cos(π/2+α)=-sin α；相应地，tan(π/2∓α)=±cos α/sin α，使用时要求分母不为 0。

03 · 方法

化简任意角三角函数

1. 01

   先减去 2π 的整数倍，把角化到一个基本周期内。

2. 02

   写成 kπ±α 或 π/2±α 等形式，确定参考角和函数名是否变化。

3. 03

   根据原角终边所在象限确定最终符号，并用特殊角值计算。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界