18.3
空间直角坐标系与两点距离
用三维坐标表示点和向量，并推导空间两点间的距离公式。
本文章目录
01 · 出发点
用三个坐标定位空间中的点
在平面直角坐标系中再加入一条与原平面垂直的 z 轴，就得到空间直角坐标系。一个有序三元组 (x,y,z) 唯一确定空间中的点。
两点坐标相减得到从起点指向终点的向量。空间两点距离公式就是对这个位移向量求长度，是三维勾股关系的直接结果。
02 · 概念
三维坐标与两点距离
若 P(x_1,y_1,z_1)、Q(x_2,y_2,z_2)，则向量 PQ=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)，距离为其三个分量平方和的平方根。
线段中点坐标为对应坐标的算术平均数。空间坐标运算必须建立在同一原点、同一组相互垂直且单位一致的坐标轴上。
03 · 方法
作差平方求空间长度
- 01
按终点减起点写出三维位移，保持 x、y、z 分量顺序一致。
- 02
求距离时将三个差分别平方后相加开方；求中点时分别取平均。
- 03
交换两点顺序复核：向量应反向而距离不变，并检查根号内非负。
04 · 例题
把方法落到具体问题
已知 P(1,-2,3)、Q(4,2,-1)，求向量 PQ、线段 PQ 的长度和中点。
解
- 1
终点减起点得 PQ=(4-1,2-(-2),-1-3)=(3,4,-4)。
- 2
距离 |PQ|=√(3^2+4^2+(-4)^2)=√41。
- 3
中点坐标为 ((1+4)/2,(-2+2)/2,(3-1)/2)=(5/2,0,1)。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 空间点由有序三元组定位，三坐标顺序不可交换。
- 终点坐标减起点坐标得到对应有向线段的向量。
- 空间距离公式是三维勾股定理，中点按分量取平均。