8.3
平面向量基本定理
用一组不共线基底唯一表示平面内任意向量。
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01 · 出发点
用两个方向描述整个平面
平面内只选一个方向，只能表示与它共线的向量；选取两个不共线方向后，就能通过沿两个方向的分量到达任意位置。
这种表示不仅存在，而且在基底固定后是唯一的。于是几何向量可以转化成一对有序实数来研究。
02 · 概念
平面向量基本定理
若 e1、e2 是平面内两个不共线向量，那么对平面内任意向量 a，存在唯一实数 lambda、mu，使 a=lambda e1+mu e2。e1、e2 称为一组基底。
不共线是关键条件：若两个基向量共线，它们的线性组合仍停留在同一直线方向上，既不能表示全部平面向量，也通常失去唯一性。
03 · 方法
求基底下的表示
- 01
确认给定的两个基向量不共线，否则不能作为平面的一组基底。
- 02
把目标向量通过三角形法则、平行四边形法则或已知向量关系拆成基向量的线性组合。
- 03
分别比较两个独立方向的系数，并用表示唯一性确定未知系数。
04 · 例题
把方法落到具体问题
e1、e2 不共线，且 a=(2m-1)e1+(n+2)e2=5e1-e2，求 m、n。
解
- 1
由于 e1、e2 不共线，它们构成平面的一组基底。
- 2
同一向量在固定基底下的表示唯一，因此对应系数分别相等：2m-1=5，n+2=-1。
- 3
解得 m=3，n=-3；代回第一式得到 a=5e1-e2，与已知表示一致。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 两个不共线向量可构成平面基底。
- 任意平面向量在固定基底下都有唯一表示。
- 比较基底系数可把向量等式化为实数方程。