11.6
直线、平面垂直
掌握线面垂直和面面垂直的判定与性质。
本文章目录
01 · 出发点
用两个相交方向锁定垂直
一条直线只垂直于平面内某一条直线，还不足以说明它垂直于整个平面。平面内有两个相交方向，分别与它垂直，才足以锁定线面垂直。
线面垂直又是研究面面垂直和空间距离的基础。一旦得到线面垂直，就能推出该直线垂直于平面内所有过垂足的直线。
02 · 概念
线面垂直与面面垂直
若一条直线垂直于一个平面内两条相交直线，则该直线垂直于这个平面。若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意直线，理解为方向垂直。
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。两个垂直平面的交线可帮助构造其中一个平面内垂直另一个平面的直线。
03 · 方法
证明空间垂直关系
- 01
证明线面垂直时在目标平面内寻找两条相交直线，分别建立与待证直线垂直。
- 02
证明面面垂直时在一个平面内寻找另一平面的垂线，再引用面面垂直判定。
- 03
由垂直关系求长度时找出垂足，构造直角三角形并使用勾股定理。
04 · 例题
把方法落到具体问题
在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥AB，PA⊥AC，且 AB 与 AC 相交于 A。证明 PA⊥平面 ABC。
解
- 1
AB、AC 都位于平面 ABC 内，并且在 A 点相交。
- 2
题设给出 PA 分别垂直于 AB、AC。
- 3
由一条直线垂直平面内两条相交直线的判定定理，得到 PA⊥平面 ABC。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 线面垂直判定需要平面内两条相交直线。
- 线面垂直可推出与平面内各方向垂直。
- 经过平面垂线的平面与该平面垂直。