14.1
数列的概念与表示
把数列理解为定义在正整数集上的函数，并用列表、图象和通项公式表示。
本文章目录
01 · 出发点
有顺序的数如何成为函数
按日期记录气温、按排数记录座位数、依次写出一个计算过程的结果，都会得到一列有先后次序的数。数值相同的项可以重复出现，但交换位置通常会改变所描述的问题。
数列既可以看作有序数表，也可以看作定义在正整数集或有限初始段 {1,2,…,n} 上的函数。项的序号是自变量，序号 n 对应的函数值记作第 n 项 a_n。
02 · 概念
序号、项与四种表示
数列的一般形式是 a_1，a_2，…，a_n，…，其中 a_n 称为通项。有限数列的定义域是 {1,2,…,n}，无穷数列的定义域通常是全体正整数。
数列可用列表、图象、通项公式或递推关系表示。通项公式直接给出 n 与 a_n 的关系；数列图象由离散点 (n,a_n) 组成，不能随意连成连续曲线。
03 · 方法
从数表读出通项与结构
- 01
读表示：先确认数列的起始序号、项数以及给定的是通项、图象还是若干项。
- 02
由式求项：把指定的正整数序号代入通项公式，注意负号、幂和括号的运算顺序。
- 03
由项找规律：同时观察符号、绝对值、相邻项差或比，再用已知项检验猜出的通项。
04 · 例题
把方法落到具体问题
已知 a_n=(-1)^n/n，写出前四项并求 a_10。
解
- 1
令 n=1，得到 a_1=(-1)^1/1=-1；符号由 (-1)^n 的奇偶性决定。
- 2
依次令 n=2，3，4，得到 a_2=1/2，a_3=-1/3，a_4=1/4。
- 3
令 n=10，因为 10 为偶数，所以 (-1)^10=1，从而 a_10=1/10。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 数列是以正整数序号为自变量的特殊函数。
- 通项公式、列表和离散图象可以从不同角度表示同一数列。
- 求指定项的直接方法是把合法序号代入通项公式并核对符号。