19.6
二项式定理
展开二项式幂并研究二项式系数的性质。
本文章目录
01 · 出发点
二项式幂的每一项来自怎样的选择
展开 (a+b)^n 时，要从 n 个相同的括号中各选一个因子相乘。某一项含 b^k，意味着恰有 k 个括号选择了 b，其余 n-k 个括号选择 a。
选择哪 k 个括号提供 b 的方法数是 C_n^k，因此组合数自然成为展开式的系数。二项式定理把逐项相乘的过程压缩成统一公式。
02 · 概念
二项式定理与通项
当 n 为非负整数时，(a+b)^n 的展开式共有 n+1 项，按 b 的指数从 0 到 n 排列。第 k+1 项为 C_n^k a^{n-k}b^k，其中 k 从 0 取到 n。
处理 (a-b)^n、(px+q)^n 等表达式时，应把第二项连同符号视为完整的 b。通项中的指数、系数和符号必须同时代入。
03 · 方法
用通项锁定指定项
- 01
把二项式准确识别为 a+b，负号和常数因子都包含在相应项内。
- 02
写出通项，并合并变量指数与常数系数。
- 03
根据目标项的变量指数建立关于 k 的方程，再检验 k 是否为 0 到 n 的整数。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求 (x+2)^5 展开式中 x³ 项的系数。
解
- 1
通项为 T_{k+1}=C₅^k x^{5-k}2^k。
- 2
要求 x 的指数为 3，因此 5-k=3，得到 k=2。
- 3
代入系数 C₅²×2²=10×4。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 二项式系数来自选择哪些因子提供第二项。
- 通项是求指定项、常数项和系数的核心工具。
- 指数条件求出的 k 必须是规定范围内的整数。