10.2
复数的四则运算
按照代数规则进行复数运算，处理共轭复数，并理解加减运算的几何意义。
本文章目录
01 · 出发点
按代数规则运算并用共轭实化分母
复数加减乘法可像多项式一样展开，只需把 i^2 替换为 -1。除法的难点是分母含 i，需要借助共轭复数把分母化为实数。
复数 z=a+bi 的共轭记作 z 的上横线，等于 a-bi。共轭只改变虚部符号，并与四则运算有良好相容性。
02 · 概念
四则运算与共轭复数
加减法分别合并实部与虚部；乘法展开后使用 i^2=-1。两个共轭复数的乘积 (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 是非负实数。
除以非零复数 c+di 时，分子分母同乘 c-di，分母成为 c^2+d^2，再整理为标准形式。该过程相当于复数分母有理化。
03 · 方法
规范完成复数运算
- 01
加减乘先按代数规则展开，再将 i 的幂化为 1、i、-1、-i 的周期形式。
- 02
除法识别分母的共轭，分子分母同时相乘，不能只改变分母。
- 03
最终整理为 a+bi，并可用共轭或反向乘法检查结果。
04 · 例题
把方法落到具体问题
计算 (3+4i)/(1-2i)，并写成 a+bi。
解
- 1
分母 1-2i 的共轭为 1+2i，分子分母同乘 1+2i。
- 2
分子 (3+4i)(1+2i)=3+6i+4i+8i^2=-5+10i。
- 3
分母 (1-2i)(1+2i)=1^2+2^2=5，所以商为 -1+2i。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 复数加减分别处理实部与虚部。
- 乘法展开后用 i^2=-1 化简。
- 除法利用分母共轭把分母化为实数。