7.8
正弦型函数与三角函数模型
分析振幅、周期和初相对图象的影响，并用三角函数刻画周期变化。
本文章目录
01 · 出发点
用振幅、周期与初相刻画周期变化
潮汐、水车高度和交流信号常围绕一个中心值作近似周期波动。正弦型函数通过四个参数分别控制振幅、周期、相位和中线。
读模型时不能只看曲线形状，还要把参数翻译为实际意义。时间单位改变会影响角频率，初相则决定周期从哪个状态开始。
02 · 概念
正弦型函数的参数作用
对 y=A sin(ωx+φ)+B（A≠0，ω≠0），振幅为 |A|，中线为 y=B，最大值 B+|A|，最小值 B-|A|，周期 T=2π/|ω|。
φ 与 ω 共同决定水平位移，可写为 ω(x+φ/ω)。A<0 会关于中线翻折；模型中的 x 必须使用与 ω 相匹配的单位。
03 · 方法
分析或建立正弦型模型
- 01
从最大值和最小值求中线 B 与振幅 |A|，从重复间隔求周期 T 和 |ω|。
- 02
利用起始状态、峰值时刻或过中线方向确定初相 φ 以及 A 的符号。
- 03
代入关键时刻检验模型，并在实际定义域内解释峰值、谷值和周期。
04 · 例题
把方法落到具体问题
某地潮位近似为 h(t)=2sin(πt/6)+5（m），t 以小时计。求周期、最高与最低潮位，并求 t=3 时潮位。
解
- 1
角频率 ω=π/6，所以周期 T=2π/(π/6)=12 小时。
- 2
振幅为 2、中线为 5，因此最高潮位为 7 m，最低潮位为 3 m。
- 3
代入 t=3，得 h(3)=2sin(π/2)+5=7 m。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- |A| 是振幅，B 是中线高度。
- 周期由 2π/|ω| 决定。
- 建立模型要用关键时刻确定相位并回到情境检验。