16.10
极坐标与坐标互化
理解极坐标的几何意义，并在极坐标与平面直角坐标之间进行简单互化。
本文章目录
01 · 出发点
用距离和方向定位平面上的点
平面直角坐标用水平、竖直位移定位点，极坐标则用到极点的距离 r 和从极轴转过的角 θ 定位点。后者适合描述绕中心旋转或与方向相关的曲线。
同一点的极坐标并不唯一：角度可增加 2kπ；若允许负极径，还可把 r 变号并将 θ 增加 π。互化时必须结合点所在象限确定角。
02 · 概念
极径、极角与两套坐标
以原点为极点、x 轴正半轴为极轴时，x=r cos θ，y=r sin θ，因此 r^2=x^2+y^2。由 tan θ=y/x 只能确定角的正切值，仍需用 x、y 符号判断象限。
直角坐标方程化极坐标方程时直接代入 x、y；极坐标方程化直角坐标方程时常乘以适当的 r，再利用 r^2=x^2+y^2 与 r cos θ=x。操作中要检查是否引入极点等额外解。
03 · 方法
在两种坐标间准确互化
- 01
直角坐标化极坐标时先求 r=√(x^2+y^2)，再由三角函数值和象限确定 θ。
- 02
极坐标方程化直角坐标方程时优先凑出 r^2、r cos θ、r sin θ，再完成配方或识别曲线。
- 03
把选定的极坐标代回 x=r cos θ、y=r sin θ，并检查角范围及可能的极点增根。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求点 P(-√3,1) 的一组极坐标；并把极坐标方程 r=4cos θ 化为直角坐标方程。
解
- 1
点 P 的极径 r=√[(-√3)^2+1^2]=2，且 cos θ=-√3/2、sin θ=1/2。
- 2
P 在第二象限，可取 θ=5π/6，所以一组极坐标为 (2,5π/6)。
- 3
对 r=4cos θ 两边乘 r，得 r^2=4r cos θ，即 x^2+y^2=4x，配方为 (x-2)^2+y^2=4。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
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本节小结
- 极坐标用极径和极角描述点，表示通常不唯一。
- x=r cos θ、y=r sin θ 是两种坐标互化的核心。
- 确定极角要结合象限，方程变形要检查极点与增根。