14.2
数列的递推关系
根据初始项和递推公式逐步确定数列。
本文章目录
01 · 出发点
从前一项生成后一项
有些数列的后一项由前一项加工得到，例如余额逐月计息、图形逐层增加边数。此时逐项生成比直接写出第 n 项更自然。
递推公式描述相邻项或若干相邻项之间的关系，但仅有递推关系通常不足以唯一确定数列，还必须给出足够的初始项。
02 · 概念
初始条件与递推规则
一阶递推常写成 a_{n+1}=F(a_n,n)，配合 a_1 可逐步得到所有后续项。若 a_{n+2} 同时依赖 a_{n+1} 与 a_n，则一般需要两个初始项。
递推表示适合生成项和研究相邻关系，通项表示适合直接求远处的项。二者可以互相转化，但转化是否容易取决于递推结构。
03 · 方法
展开递推并寻找通项
- 01
检查起点：确认递推式从哪个 n 开始成立，以及已知初始项是否足以启动计算。
- 02
按序迭代：求 a_{n+1} 时只代入已经确定的项，不跳步替换，以免序号错位。
- 03
验证结果：把算出的相邻两项代回递推式，并检查项数和目标序号是否一致。
04 · 例题
把方法落到具体问题
数列满足 a_1=2，a_{n+1}=2a_n-1，求 a_2、a_3、a_4。
解
- 1
在 n=1 时应用递推式：a_2=2a_1-1=2×2-1=3。
- 2
在 n=2 时继续迭代：a_3=2a_2-1=2×3-1=5。
- 3
在 n=3 时得到 a_4=2a_3-1=2×5-1=9，并逐对检查 3=2×2-1、5=2×3-1、9=2×5-1。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 递推关系给出数列各项之间的生成规则。
- 完整的递推表示必须包含足够的初始条件和适用的序号范围。
- 逐项代入并回代检查是处理递推计算的可靠流程。