3.7
三角不等式
理解绝对值的三角不等式及其取等条件，并用于估计范围。
本文章目录
01 · 出发点
直达距离不会超过绕行距离
数轴上从 0 走到 a+b 的直达距离，不会超过先走到 a 再移动 b 所经过的总路程。这一直观对应绝对值的三角不等式。
三角不等式不仅给出上界，还能通过移项得到反向三角不等式，从而估计和、差与参数式的范围。取等条件反映两个位移方向是否一致。
02 · 概念
三角不等式及其反向形式
对任意实数 a、b，有 |a+b|≤|a|+|b|。当 ab≥0，即 a、b 同号或至少一个为零时取等；它也可推广到有限个实数之和。
由 |a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| 得 |a|-|b|≤|a-b|；交换 a、b 又得 |b|-|a|≤|a-b|。合并两式便有 ||a|-|b||≤|a-b|。
03 · 方法
用距离或拆项估计绝对值
- 01
识别目标绝对值能否写成两个量之和或之差，并选择普通或反向三角不等式。
- 02
若含变量，可把绝对值解释为数轴距离，利用两定点之间的距离确定下界。
- 03
求最值时解出取等条件，并确认该条件在变量范围内能够达到。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求实数 x 使 |x-2|+|x+1| 取得最小值，并求该最小值。
解
- 1
把两项看作 x 到数轴上 2 与 -1 的距离，两个定点之间的距离为 3。
- 2
由三角不等式，|x-2|+|x+1|≥|(x-2)-(x+1)|=3。
- 3
当 x 位于 -1 与 2 之间时，两段距离恰好首尾相接，所以对任意 x∈[-1,2] 都取等。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 和的绝对值不超过绝对值之和。
- 反向三角不等式控制两个绝对值的差。
- 距离解释有助于理解不等式及全部取等情形。