20.3
贝叶斯公式
在全概率公式基础上根据结果反推原因发生的条件概率。
本文章目录
01 · 出发点
从已经观察到的结果反推原因
检测结果呈阳性并不等于被检测者一定患病，因为阳性既可能来自真正患病，也可能来自假阳性。贝叶斯公式把结果出现后的信息用于更新各原因的可能性。
计算时先用全概率公式求结果出现的总概率，再把某一原因通向该结果的路径概率除以总概率。它本质上仍是条件概率定义。
02 · 概念
贝叶斯公式中的先验、似然与后验
表示观察结果前原因 的先验概率， 描述该原因产生结果 A 的可能性， 是观察 A 后更新得到的后验概率。
后验概率由证据强度和先验基础率共同决定。即使检测很准确，当目标事件本身非常少见时，阳性结果中的真正阳性比例也可能不高。
03 · 方法
用概率树完成反向更新
- 01
列出互斥且完备的原因事件，并写出各自先验概率。
- 02
沿每条原因到结果的路径相乘，再相加得到结果的全概率。
- 03
用目标原因的路径概率除以结果总概率，得到后验概率。
04 · 例题
把方法落到具体问题
某病患病率为 1%，检测对患者的阳性率为 90%，对健康者的假阳性率为 5%。某人检测阳性，求其患病概率。
解
- 1
患病且阳性的概率为 0.01×0.90=0.009。
- 2
健康且阳性的概率为 0.99×0.05=0.0495。
- 3
阳性总概率为 0.009+0.0495=0.0585，目标后验为 0.009/0.0585。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 贝叶斯公式用于根据观察结果反推原因。
- 后验概率同时取决于先验概率和结果在各原因下的条件概率。
- 全概率公式给出分母，目标路径概率给出分子。