9.5
正弦定理
建立三角形边与其对角正弦的比例关系。
本文章目录
01 · 出发点
边长与对角正弦的统一比例
在任意三角形中，一条边越长，它所对的角通常越大。正弦定理把三组边角关系精确地写成同一个比例。
已知两角一边或两边及其中一边的对角时，正弦定理通常是解三角形的直接工具，但后一类条件可能出现两解。
02 · 概念
正弦定理及外接圆联系
在三角形 ABC 中，边 a、b、c 分别对角 A、B、C，有 a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R，其中 R 为外接圆半径。
公式既可写成比例求边，也可写成 sin A/a=sin B/b 比较边角。由正弦值求角时，A 与 pi-A 正弦相同，需结合内角和与边角大小判断。
03 · 方法
用正弦定理解三角形
- 01
按边 a、b、c 与角 A、B、C 的对应关系整理已知量，先寻找一组完整边角对。
- 02
选择只含一个未知量的比例式；求角时同时考虑正弦相等的补角可能。
- 03
用 A+B+C=pi、较大边对较大角以及三角形存在条件筛选并检验。
04 · 例题
把方法落到具体问题
三角形 ABC 中，A=30°，B=45°，a=2，求 b 与 C。
解
- 1
由内角和，C=180°-30°-45°=105°。
- 2
由正弦定理 b/sin45°=a/sin30°=2/(1/2)=4。
- 3
因此 b=4sin45°=2sqrt2；且 b>a，与 B>A 一致。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 正弦定理连接三组对边与对角。
- 存在完整边角对时可直接建立比例。
- SSA 型问题必须检查多解。