集合的基本运算

01 · 且

交集保留共同元素

由所有既属于集合 $A$ 又属于集合$B$ 的元素组成的集合，称为$A$ 与 $B$ 的交集，记作 $A\cap B$。

自然语言中的“同时”“并且”“既……又……”通常对应交集。两个集合可以没有共同元素，此时$A\cap B=\varnothing$。

02 · 或

并集保留至少属于一个集合的元素

由所有属于集合 $A$ 或属于集合$B$ 的元素组成的集合，称为两者的并集，记作 $A\cup B$。

03 · 非

补集必须先确定全集

如果所研究的集合都是某个给定集合 $U$ 的子集，那么称$U$ 为全集。全集中所有不属于$A$ 的元素组成的集合，称为 $A$在 $U$ 中的补集，记作 $\complement_U A$。

同一个集合放在不同全集中，补集会随之改变。例如$A=\{1,2\}$：若$U=\{1,2,3\}$，补集是$\{3\}$；若 $U=\{1,2,3,4\}$，补集则是$\{3,4\}$。

04 · 例题

有限集合：逐个元素核对

05 · 数轴

区间运算：先叠加，再读边界

06 · 结构

运算规律来自元素条件

集合运算具有交换律、结合律和分配律。它们并不是新的计算技巧，而是“且”“或”逻辑结构的直接结果。

补集还满足德摩根律。否定“属于 $A$ 或$B$”意味着“既不属于 $A$，也不属于$B$”；否定“同时属于 $A,B$” 意味着至少有一个不属于：

07 · 应用

合并数量时要扣除重复部分

对有限集合，用 $\operatorname{card}(A)$ 表示集合$A$ 的元素个数。若 $A,B$ 均为有限集合，上面的重复计数规律可以写成：

08 · 辨析

每次运算都回到元素语言