2.5
反证法
先假设结论的否定成立，再由此推出矛盾，从而证明原结论。
本文章目录
01 · 出发点
从结论的否定出发逼出矛盾
有些结论很难直接建立，却容易看出“它若不成立会造成什么后果”。反证法正是先暂时接受结论的否定，再沿着正确推理走到不可能的结果。
推出矛盾后，被否定的是最初附加的假设，而题目的已知条件仍然成立。因此原结论必须成立。存在性、唯一性和无理性证明中经常使用这一方法。
02 · 概念
反证法的逻辑闭环
要在已知条件 H 下证明结论 q，先假设非 q 成立，再把 H 与非 q 共同作为推理起点。若由此得到与已知、公理、已证事实或自身相冲突的结论，就说明非 q 不可能成立。
矛盾必须写得具体，例如同时得到某整数既是奇数又是偶数，或得到 0>0。仅写“显然矛盾”而不指出冲突双方，会使证明链条不完整。
03 · 方法
组织反证法证明
- 01
明确待证结论 q，准确写出其否定，并以“假设结论不成立”开始。
- 02
把结论的否定与题设条件结合，进行每一步都有依据的代数或逻辑推导。
- 03
明确指出所得矛盾的双方，再否定临时假设并回到原结论。
04 · 例题
把方法落到具体问题
用反证法证明 √2 是无理数。
解
- 1
假设 √2 是有理数，则可写成 √2=a/b，其中 a、b 是互质正整数。
- 2
两边平方得 a²=2b²，所以 a² 为偶数。若 a 为奇数，则 a² 仍为奇数，因此由逆否关系可知 a 为偶数，设 a=2k。
- 3
代回得到 4k²=2b²，即 b²=2k²，所以 b 也为偶数。
- 4
于是 a、b 都能被 2 整除，这与二者互质矛盾。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 反证法从结论的准确否定开始。
- 推理过程中同时使用题设与临时假设。
- 明确的矛盾排除否定情形，从而建立原结论。