20.4
离散型随机变量及其分布列
用数值表示随机结果并列出各取值的概率。
本文章目录
01 · 出发点
用一个数记录随机试验的结果特征
抛两枚硬币的基本结果是正正、正反、反正、反反。若只关心正面个数，可以把这些结果映射为 2、1、1、0。这个随试验结果变化的数就是随机变量。
离散型随机变量的可能取值能够逐个列出。分布列不仅列出取值，还给出每个取值的概率，从而完整描述随机变量的概率规律。
02 · 概念
离散型随机变量与分布列
随机变量 X 是定义在样本空间上的实值函数。不同基本结果可以映射到同一个 X 值，因此求 P(X=x_i) 时要合并所有对应结果。
分布列中的概率 p_i 必须非负，并且总和为 1。列分布时应先确认所有可能取值，再逐项计算概率，最后用概率和检验。
03 · 方法
建立分布列的完整流程
- 01
根据随机变量定义列出所有可能取值，避免遗漏边界值。
- 02
对每个取值描述对应事件，并计算该事件包含的样本点概率。
- 03
按取值顺序写出分布列，检查所有概率非负且和为 1。
04 · 例题
把方法落到具体问题
同时抛两枚均匀硬币，令 X 为正面朝上的枚数，写出 X 的分布列。
解
- 1
X 的可能取值为 0、1、2。四个等可能结果为反反、正反、反正、正正。
- 2
X=0 对应反反，概率 1/4；X=2 对应正正，概率 1/4。
- 3
X=1 对应正反、反正两个结果，概率 2/4=1/2，三项概率和为 1。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 随机变量把随机结果映射为实数。
- 分布列由全部可能取值及其概率组成。
- 概率非负且总和为 1 是分布列的必要条件。