15.7
极值与最值
利用导数寻找函数极值和给定范围内的最值。
本文章目录
01 · 出发点
局部转折与全局最值并不相同
极大值和极小值比较的是某点附近的函数值，最大值和最小值比较的是指定定义域内的全部函数值。局部最优与整体最优不能互相替代。
导数从正变负时，函数先增后减，临界点取得极大值；导数从负变正时，函数先减后增，临界点取得极小值。闭区间最值还必须比较端点。
02 · 概念
极值、最值与端点
若在 x_0 左侧 f'>0、右侧 f'<0，则 f(x_0) 是极大值；若左侧 f'<0、右侧 f'>0，则是极小值。仅有 f'(x_0)=0 不是取得极值的充分条件。
连续函数在闭区间 [a,b] 上求最值，可列出区间内部所有临界点的函数值以及 f(a)、f(b)，比较这些有限个候选值。
03 · 方法
列出并比较全部候选值
- 01
求导并找出区间内部 f'=0 或 f' 不存在的临界点。
- 02
用导数符号表判断临界点是否为极值点，并计算相应函数值。
- 03
求闭区间最值时，把所有内部候选值与两个端点值放在同一列表比较。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求 f(x)=x^3-3x 在 [0,2] 上的最大值和最小值。
解
- 1
f'(x)=3x^2-3，在 (0,2) 内的临界点为 x=1。
- 2
计算候选值：f(0)=0，f(1)=1-3=-2，f(2)=8-6=2。
- 3
比较 0、-2、2，得到最小值 -2 在 x=1 处取得，最大值 2 在 x=2 处取得。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 导数变号刻画局部极值，零导数本身只提供候选点。
- 闭区间最值需要比较内部临界点和端点的函数值。
- 极值是局部概念，最大值与最小值依赖完整讨论范围。