4.1
函数的概念与表示
理解函数是定义域内每个输入都有唯一输出的对应关系。
本文章目录
01 · 出发点
函数描述输入到唯一输出的对应
气温随时间变化、路程随速度和时间变化，都包含两个变量之间的对应关系。函数关注的是：在允许的每个输入下，是否都有而且只有一个确定的输出。
同一个函数可以用解析式、表格、图象或语言描述。表示形式不同，只要定义域和对应规则完全相同，描述的仍是同一个函数。
02 · 概念
定义域、对应关系与函数值
设 A、B 是非空数集，如果按照某个确定关系 f，对 A 中任意 x，在 B 中都有唯一确定的 y 与之对应，就称 f 是从 A 到 B 的函数，记作 y=f(x)，x∈A。A 是定义域。
函数相等要求定义域相同且对应关系相同。输出集合 B 不一定等于实际值域；值域是所有实际函数值组成的集合，是 B 的子集。
03 · 方法
判断或表示一个函数
- 01
明确输入变量、允许输入的集合以及决定输出的规则。
- 02
检查定义域内每个输入是否有输出，并确认输出是否唯一。
- 03
根据任务选择解析式、表格、图象或分段语言，并在转换表示时保留定义域。
04 · 例题
把方法落到具体问题
关系 x²+y²=1 是否能把 y 看成 x∈[-1,1] 的函数？说明理由。
解
- 1
由关系式解得 y=±√(1-x²)。
- 2
当 x=0 时，可得到 y=1 和 y=-1 两个不同输出。
- 3
同一个输入 x=0 对应两个输出，违反函数输出唯一性的要求。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 函数要求定义域内每个输入都有唯一输出。
- 定义域与对应关系共同确定函数。
- 解析式、表格、图象和语言都是函数的表示方式。