12.7
集中趋势
理解平均数、中位数和众数各自反映的数据特征。
本文章目录
01 · 出发点
用一个数描述数据的中心
平均数、中位数和众数都能描述一组数据的典型水平，但它们关注的信息不同，对极端值的敏感程度也不同。
选择集中趋势指标要结合变量类型、分布形状和实际问题，而不能机械地认为平均数总是最有代表性。
02 · 概念
平均数、中位数与众数
平均数利用全部数据，适合相对对称且无强离群值的数量数据；中位数是排序后的中间位置，对极端值稳健；众数是出现次数最多的值，可用于类别数据。
数据个数为奇数时中位数是正中一个值，为偶数时是中间两个值的平均。众数可能没有，也可能不止一个。
03 · 方法
选择并计算中心指标
- 01
先按大小排序并观察分布是否偏斜、是否含离群值以及变量是否为类别。
- 02
按定义分别计算候选指标，偶数个数据的中位数取中间两项平均。
- 03
结合问题解释为什么选用某一指标，并说明其他指标可能传达的不同信息。
04 · 例题
把方法落到具体问题
五个家庭的某项月支出为 2、3、3、4、18（单位：千元），求平均数、中位数和众数，并选择描述典型家庭的指标。
解
- 1
数据已排序，总和为 30，所以平均数为 30/5=6 千元。
- 2
正中第 3 个数为 3，所以中位数为 3 千元；出现最多的数也是 3，故众数为 3 千元。
- 3
18 是明显较大的观测值，把平均数拉高；描述典型家庭时中位数 3 千元更稳健。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 平均数使用全部数据但对极端值敏感。
- 中位数由排序后的位置决定且较稳健。
- 众数表示最常见取值，可能不唯一。