超几何分布及其均值

01 · 出发点

不放回抽样中的成功个数

一个总体含有两类对象，从中不放回抽取若干个。由于每取出一个对象都会改变剩余组成，各次结果并不独立，成功概率也不保持不变。

超几何分布直接从组合角度统计样本中某类对象的个数。它不按抽取顺序区分方案，因此分子是两类对象选取组合数的乘积。

02 · 概念

超几何分布的模型、取值范围与均值

总体有 N 个对象，其中 M 个属于目标类；不放回抽取 n 个，令 X 为抽到目标类的个数，则 P(X=k)=C_M^k C_{N-M}^{n-k}/C_N^n。

k 既不能超过 M 和 n，也要保证能从非目标类中取出 n-k 个，因此取值范围由 max(0,n-(N-M))≤k≤min(M,n) 决定。

超几何随机变量的均值为 E(X)=nM/N，即“样本量×总体中目标类比例”。它描述大量同类抽样中目标类个数的长期平均水平。

03 · 方法

计算不放回概率并读取均值

1. 01

   确定总体量 N、目标类数量 M、样本量 n 和目标个数 k。

2. 02

   检查 k 的可行范围，再分别从两类对象中选取所需数量。

3. 03

   用有利样本组合数除以全部样本组合数，并约分或计算。

4. 04

   需要数字特征时使用 E(X)=nM/N，并把它解释为重复抽样中目标类个数的长期平均。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界