18.6
用向量证明平行与垂直
把空间平行、垂直关系转化为向量关系。
本文章目录
01 · 出发点
把空间证明转化为比例和内积
空间几何证明可把图形中的平行、垂直关系转化为向量成比例或数量积为零。这样能减少对辅助线和空间直观的依赖。
证明线面关系时不能只验证直线与平面内一条直线的关系。线面垂直需要垂直于平面内两条相交直线，线面平行则要找到平面内与该直线平行的方向。
02 · 概念
向量条件对应的平行与垂直
两非零方向向量成比例可证明直线平行，数量积为零可证明直线垂直。直线方向向量 s 与平面法向量 n 平行时线面垂直，s·n=0 且直线不在平面内时线面平行。
两平面法向量平行时两平面平行或重合，法向量数量积为零时两平面垂直。使用坐标法还要说明对象不重合、不包含等位置前提。
03 · 方法
计算后补齐几何位置前提
- 01
选取基底或建立坐标系，把相关直线写成方向向量，把平面写成两个平面内向量或法向量。
- 02
用分量成比例证明平行，用数量积为零证明垂直，并明确所需非零或不共线条件。
- 03
依据对应判定定理回到几何结论，补充排除重合、包含等情况的说明。
04 · 例题
把方法落到具体问题
平面 α 内两条相交直线 m、n 的方向向量分别为 u=(1,1,0)、v=(1,0,1)，直线 l 的方向向量为 w=(1,-1,-1)。证明 l⊥α。
解
- 1
题设给出 m、n 位于平面 α 内且相交；u、v 不成比例，与这一位置关系一致。
- 2
计算 w·u=1-1+0=0，w·v=1+0-1=0，因此 l⊥m 且 l⊥n。
- 3
因为 m、n 是平面 α 内两条相交直线，由线面垂直判定定理得到 l⊥α。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 空间平行可转化为方向向量或法向量成比例。
- 空间垂直可转化为相应向量数量积为零或方向向量平行法向量。
- 向量计算之后仍需引用正确判定并补足位置前提。