11.1
基本立体图形与简单组合体
认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、球以及简单组合体的结构。
本文章目录
01 · 出发点
从面、棱和轴识别空间几何体
现实物体常可抽象为棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球，也可能由这些基本几何体切割或组合而成。
识别几何体不能只看一张透视图，而要抓住底面、侧面、棱、顶点以及平行于底面的截面等结构特征。
02 · 概念
多面体、旋转体与组合体
棱柱有两个全等且平行的多边形底面，侧棱平行且相等；棱锥只有一个多边形底面，各侧面是有公共顶点的三角形；棱台可由平行于棱锥底面的平面截得。
矩形、直角三角形、半圆分别绕特定边或直径旋转可形成圆柱、圆锥、球。组合体应先判断由哪些基本几何体拼接或挖去，再研究其表面和体积。
03 · 方法
分析几何体结构
- 01
先区分平面多边形围成的多面体与曲面构成的旋转体，再确定底面和轴。
- 02
逐项统计面、棱、顶点或识别母线、半径和高，隐藏部分也要计入。
- 03
组合体按拼接、截切或挖孔分解，并检查公共面是否属于外表面。
04 · 例题
把方法落到具体问题
一个五棱柱有多少个面、顶点和棱？并用欧拉公式检验。
解
- 1
五棱柱有两个五边形底面和 5 个侧面，所以面数 F=7。
- 2
上下底面各有 5 个顶点，所以 V=10；上下底各 5 条棱，再加 5 条侧棱，故 E=15。
- 3
检验 F+V-E=7+10-15=2，符合凸多面体欧拉公式。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 几何体要靠定义特征而非视觉外形识别。
- 棱柱、棱锥的名称由底面边数决定。
- 欧拉公式可检查凸多面体的结构统计。