14.4
等差数列前 n 项和
利用倒序相加推导求和公式，并理解通项 a_n 与前 n 项和 S_n 的关系。
本文章目录
01 · 出发点
把首尾项配成相同的和
逐项相加当然能求短数列的和，但项数很大时需要利用结构。等差数列首尾配对后，每一对的和都相等，这正是倒序相加法的出发点。
前 n 项和 S_n 不只是一个结果序列，它还保留原数列的信息：相邻两个前缀和之差就是新增的第 n 项。
02 · 概念
前 n 项和公式与项和关系
将 S_n=a_1+a_2+…+a_n 与倒序式 S_n=a_n+a_{n-1}+…+a_1 相加，每列都是 a_1+a_n，从而 2S_n=n(a_1+a_n)。
代入 a_n=a_1+(n-1)d，得到 S_n=na_1+n(n-1)d/2。反过来，对 n≥2 有 a_n=S_n-S_{n-1}，而 a_1=S_1。
03 · 方法
选择合适的等差求和公式
- 01
识别已知量：已知首项、末项和项数时用首尾形式，已知首项、公差和项数时用公差形式。
- 02
处理项数：若求从第 m 项到第 n 项的和，写成 S_n-S_{m-1}，避免漏项。
- 03
检查数量级：等差数列通项为一次式时，前 n 项和通常为关于 n 的二次式。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求前 20 个正奇数 1+3+5+…+39 的和。
解
- 1
这些数构成首项 a_1=1、公差 d=2 的等差数列，第 20 项为 1+19×2=39。
- 2
用首尾求和公式 S_20=20(1+39)/2。
- 3
计算得 S_20=10×40=400；也可用 S_n=n^2 检查 20^2=400。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 倒序相加把等差结构转化为 n 个相同的首尾和。
- 等差数列前 n 项和有首尾式和公差式两种等价形式。
- 前 n 项和与通项通过 a_n=S_n-S_{n-1} 相互联系。