9.6
余弦定理
建立三角形三边与一个角之间的数量关系。
本文章目录
01 · 出发点
勾股定理向任意三角形的推广
直角三角形满足勾股定理；当夹角不是直角时，第三边平方还会受到夹角余弦的修正。
余弦定理适合已知两边及夹角求第三边，也适合已知三边求角，并能判定三角形是锐角、直角还是钝角。
02 · 概念
余弦定理及其变形
在三角形 ABC 中，a^2=b^2+c^2-2bc cos A，另外两式循环对应。若 A=90°，cos A=0，公式退化为勾股定理。
移项可得 cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)。因为内角在 (0,pi) 内，余弦值唯一确定角，并可由符号判断角的类型。
03 · 方法
用余弦定理求边或求角
- 01
已知 SAS 时对准夹角和对边写公式，先求对边平方，再取正长度。
- 02
已知 SSS 时用移项公式求目标角余弦，分母 2bc 中的两边必须夹住目标角。
- 03
利用边长大小或余弦符号检查结果，并验证三边满足三角形不等式。
04 · 例题
把方法落到具体问题
三角形三边长分别为 3、4、6，求最大角的余弦并判断其类型。
解
- 1
最大边 6 所对的角最大，设该角为 C，另外两边为 3、4。
- 2
由余弦定理，cos C=(3^2+4^2-6^2)/(2×3×4)=(-11)/24。
- 3
因为 cos C<0，所以 C 为钝角；同时 3+4>6，三角形存在。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 余弦定理推广了勾股定理。
- SAS 可求边，SSS 可求角。
- 最大边所对角的余弦符号可判断三角形类型。