11.4
点、直线与平面
用公理和图形语言描述空间基本对象的位置关系。
本文章目录
01 · 出发点
用公理描述空间基本对象
点、直线和平面是立体几何的基本对象。纸面上的平行四边形只是平面的示意，真正的平面向四周无限延展。
空间中两条直线除相交和平行外，还可能既不相交也不平行，称为异面直线。这是平面几何中没有的新位置关系。
02 · 概念
基本事实与位置关系
经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面；若一条直线上有两个点在一个平面内，则整条直线在该平面内；两个不重合平面若有公共点，则交于经过该点的一条直线。
直线与直线可相交、平行或异面；直线与平面可在平面内、相交或平行；两个平面可相交或平行。研究关系时应先确认对象是否共面。
03 · 方法
判断并表达空间位置关系
- 01
先依据题设或基本事实确定哪些点、线位于同一平面，再判断相交、平行或异面。
- 02
证明直线在平面内时找直线上两个点属于该平面；确定平面时提供不共线三点等条件。
- 03
画图只辅助理解，结论应以符号关系和公理条件为依据。
04 · 例题
把方法落到具体问题
四面体 ABCD 中，点 M 在 AB 上，点 N 在 AC 上，且 M、N 不同于 A。平面 DMN 与平面 ABC 的交线是什么？
解
- 1
M 在 AB 上、N 在 AC 上，所以 M、N 都属于平面 ABC。
- 2
按平面 DMN 的定义，M、N 也都属于平面 DMN。
- 3
两个不重合平面有两个公共点 M、N，因此它们的交线是直线 MN。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 不共线三点唯一确定一个平面。
- 直线上两点属于平面可推出整条直线属于平面。
- 异面直线是空间中特有的位置关系。