积化和差、和差化积与半角公式

01 · 出发点

在乘积、和差与半角之间转换

和差公式相加或相减，可以把三角函数乘积转成和差，也可以反向把和差转成乘积。这些转换适合化简、求值和求和。

由余弦二倍角公式还可得到半角的平方关系。课程重点在理解推导和会查用，不在孤立背诵大量公式。

02 · 概念

三组变换公式的来源

例如 $\cos(u-v)-\cos(u+v)=2\sin u\sin v$，所以 $\sin u\sin v=\dfrac{\cos(u-v)-\cos(u+v)}2$。令 $u=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$、$v=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$，可反向得到和差化积。

半角公式给出 $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}$、$\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}$。开平方求 $\sin\dfrac{\alpha}{2}$、$\cos\dfrac{\alpha}{2}$ 时，正负号由半角所在象限决定。

03 · 方法

按目标选择变换方向

1. 01

   需要求和或积分式样化简时把乘积化为和差；需要判断零点或因式时常把和差化为乘积。

2. 02

   先从和差公式推导所需公式，明确两个新角的和与差，避免符号错位。

3. 03

   半角求值先算平方，再依据半角范围定号，并用数值范围作检查。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界