空间角的计算

01 · 出发点

把空间角转化为向量夹角

异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角都可以用向量夹角统一计算。不同角型对应不同向量：线用方向向量，面用法向量。

向量夹角的取值与几何角的约定并不总相同。线线角通常取锐角或直角，因此数量积取绝对值；二面角还需结合图形判断取法向量夹角还是其补角。

02 · 概念

线线角、线面角与二面角

方向向量 s_1、s_2 给出线线角 θ，cos θ=|s_1·s_2|/(|s_1||s_2|)。直线方向 s 与平面法向 n 的夹角和线面角互余，因此 sin θ=|s·n|/(|s||n|)。

两个平面的夹角可由法向量 n_1、n_2 的夹角求得。若题目要求带方向或指定内部的二面角，需要选取半平面内向量或通过测试点判断最终角是 φ 还是 π-φ。

03 · 方法

选向量、算内积并取正确角

1. 01

   识别角型，分别选取非零方向向量或法向量，并统一坐标系。

2. 02

   计算数量积和两个向量的模，按线线、线面或面面对应公式求三角函数值。

3. 03

   根据几何角取值范围、绝对值和图形朝向确定最终角，并检查平行、垂直极端情形。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界