20.6
伯努利试验与二项分布
理解 n 重伯努利试验，掌握二项分布及其均值、方差并解决简单问题。
本文章目录
01 · 出发点
把同一种成败试验独立重复 n 次
一次试验只有成功和失败两种结果，成功概率为 p。若在相同条件下独立重复 n 次，并记录成功次数 X，就得到 n 重伯努利试验。
要使 X 服从二项分布，必须同时满足次数固定、每次只有两类结果、成功概率不变、各次相互独立。缺少任一条件都不能直接套用二项分布。
02 · 概念
二项分布的概率、均值与方差
恰有 k 次成功，需要从 n 次试验中选出 k 个成功位置，共有 C_n^k 种；每条具体路径的概率为 p^k(1-p)^{n-k}。
若 X~B(n,p)，则 E(X)=np，D(X)=np(1-p)。均值表示长期平均成功次数，方差在 p 接近 1/2 时较大。
03 · 方法
识别并计算二项分布
- 01
逐项检查固定次数、两类结果、概率不变和相互独立四个条件。
- 02
明确 X 记录成功次数，并把“至少”“至多”翻译为 k 的取值范围。
- 03
单个 k 用概率质量函数，多个 k 求和；必要时用补事件简化。
04 · 例题
把方法落到具体问题
某射手每次命中概率为 0.8，各次独立，射击 3 次，求恰好命中 2 次的概率。
解
- 1
命中与未命中构成两类结果，3 次独立且命中概率不变，因此 X~B(3,0.8)。
- 2
恰好命中 2 次，可选择 2 个命中位置，共有 C₃² 种。
- 3
每条路径概率为 0.8²×0.2，乘以位置数。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
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本节小结
- 二项分布来自相同条件下独立重复的成败试验。
- 概率公式由成功位置组合数与单条路径概率相乘得到。
- 二项分布的均值为 np，方差为 np(1-p)。