直线的倾斜角与斜率

01 · 出发点

用一个角和一个比值刻画方向

平面内直线的位置既由经过的点决定，也由方向决定。倾斜角用角度描述方向，斜率用纵坐标改变量与横坐标改变量之比描述同一方向。

以 $x$ 轴正方向为始边，逆时针旋转到直线向上方向所得的角称为倾斜角 $\alpha$；直线与 $x$ 轴平行时规定 $\alpha=0$，统一范围为 $0\le\alpha<\pi$。非竖直直线的斜率 $k=\tan\alpha$，竖直直线的倾斜角为 $\dfrac\pi2$ 而斜率不存在。

02 · 概念

倾斜角、斜率及竖直例外

经过两点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ 且 $x_1\ne x_2$ 的直线斜率为 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。交换两点次序时分子、分母同时变号，商不变。

当 $0<\alpha<\dfrac\pi2$ 时 $k>0$，$\alpha=0$ 时 $k=0$，$\dfrac\pi2<\alpha<\pi$ 时 $k<0$。斜率绝对值越大表示直线越陡，但跨越竖直方向时不能按数值大小连续比较倾斜角。

03 · 方法

由两点确定直线方向

1. 01

   先检查两点是否重合以及横坐标是否相等；竖直情形应直接说明斜率不存在。

2. 02

   按相同点的顺序组成纵差和横差，约分得到斜率 $k$。

3. 03

   由 $k=\tan\alpha$ 并结合 $0\le\alpha<\pi$ 确定唯一倾斜角，最后用斜率正负核对象限。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界