直线的倾斜角与斜率

01 · 出发点

用一个角和一个比值刻画方向

平面内直线的位置既由经过的点决定，也由方向决定。倾斜角用角度描述方向，斜率用纵坐标改变量与横坐标改变量之比描述同一方向。

以 x 轴正方向为始边，逆时针旋转到直线向上方向所得的角称为倾斜角 α；直线与 x 轴平行时规定 α=0，统一范围为 0≤α<π。非竖直直线的斜率 k=tan α，竖直直线的倾斜角为 π/2 而斜率不存在。

02 · 概念

倾斜角、斜率及竖直例外

经过两点 P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2) 且 x_1≠x_2 的直线斜率为 (y_2-y_1)/(x_2-x_1)。交换两点次序时分子、分母同时变号，商不变。

当 0<α<π/2 时 k>0，α=0 时 k=0，π/2<α<π 时 k<0。斜率绝对值越大表示直线越陡，但跨越竖直方向时不能按数值大小连续比较倾斜角。

03 · 方法

由两点确定直线方向

1. 01

   先检查两点是否重合以及横坐标是否相等；竖直情形应直接说明斜率不存在。

2. 02

   按相同点的顺序组成纵差和横差，约分得到斜率 k。

3. 03

   由 k=tan α 并结合 0≤α<π 确定唯一倾斜角，最后用斜率正负核对象限。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界