18.5
方向向量与法向量
用方向向量表示直线，用法向量表示平面方向。
本文章目录
01 · 出发点
用向量编码直线和平面的方向
一条直线的方向可由任一与它平行的非零向量代表；一个平面的朝向可由任一与它垂直的非零向量代表。它们分别称为方向向量和法向量。
方向向量与法向量都不唯一，任意非零倍数仍表示同一方向。选择分量简单的代表通常能显著减少空间解析几何的计算。
02 · 概念
方向向量、法向量与方程
过点 P_0(x_0,y_0,z_0)、方向向量 s=(l,m,n) 的直线可参数化为 (x,y,z)=P_0+ts。法向量 n=(A,B,C) 的平面可写 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0。
平面内任意两个不共线向量都与法向量垂直。已知三个不共线点时，可先取两条平面内方向向量，再求一个同时与二者垂直的非零向量。
03 · 方法
从几何对象提取方向信息
- 01
求直线方向向量时可取线上两点之差；求平面法向量时取平面内两个不共线向量。
- 02
设法向量 (A,B,C)，利用它与两个平面内向量数量积均为零求一组非零解。
- 03
把法向量和平面上一点代入点法式，并用其余已知点代回验证。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求过 A(1,0,2)、B(0,1,2)、C(1,1,1) 的平面的一个法向量及方程。
解
- 1
取 AB=(-1,1,0)，AC=(0,1,-1)，二者不成比例，能确定平面方向。
- 2
向量 n=(1,1,1) 满足 n·AB=-1+1=0，n·AC=1-1=0，所以可作法向量。
- 3
用点 A 写 (x-1)+y+(z-2)=0，整理为 x+y+z-3=0；代入 B、C 均成立。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 直线用非零方向向量表示方向，平面用非零法向量表示朝向。
- 平面法向量同时垂直于平面内两个不共线向量。
- 一个法向量加平面上一点可写出平面的点法式方程。