4.4
函数的单调性
在指定区间内比较函数值，判断函数的增减趋势。
本文章目录
01 · 出发点
比较输入顺序与输出顺序
函数图象从左向右上升或下降，描述的是输入增大时输出的整体趋势。单调性必须在指定区间内讨论，不能只凭局部几处点的高低判断。
严格定义通过任意两个输入 x₁<x₂ 的函数值关系刻画。这个定义既可用于证明，也能帮助辨析一条图象在不同区间上的变化。
02 · 概念
增函数、减函数与单调区间
若区间 I 内任意 x₁<x₂ 都有 f(x₁)<f(x₂)，则 f 在 I 上严格递增；若总有 f(x₁)>f(x₂)，则严格递减。非严格单调则把关系换成 ≤ 或 ≥。
函数在两个相邻区间上分别递增，不一定能直接说它在并集上递增，因为跨越间断点时还要比较两侧函数值。单调区间通常写成连续区间。
03 · 方法
证明或读取单调性
- 01
先指定区间 I，任取 x₁、x₂∈I 且 x₁<x₂。
- 02
比较 f(x₂)-f(x₁) 的符号，或利用已知基本函数和复合变换判断输出顺序。
- 03
若从图象读取，则按从左到右的变化写出连续单调区间，并在转折点处分开。
04 · 例题
把方法落到具体问题
证明 f(x)=x² 在区间 (-∞,0] 上单调递减。
解
- 1
任取 x₁<x₂≤0，则 x₂-x₁>0；又因 x₁<x₂≤0，所以 x₁<0，从而 x₁+x₂<0。
- 2
计算 f(x₂)-f(x₁)=x₂²-x₁²=(x₂-x₁)(x₂+x₁)。
- 3
因为第一个因子为正、第二个因子为负，所以 f(x₂)-f(x₁)<0。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 单调性是函数在指定区间上的整体性质。
- 严格单调要求任意有序输入都保持确定的输出顺序。
- 作差并判断因子符号是常用证明方法。