5.6
换底公式
用换底公式统一不同底数的对数计算。
本文章目录
01 · 出发点
把不同底数的对数统一到同一种尺度
计算器通常只提供常用对数和自然对数，却可以计算任意合法底数的对数。关键是把“以 a 为底”改写为一个共同底数下的比值。
换底公式也揭示了不同底数对数函数之间只相差一个常数倍，可用于证明对数恒等式和比较数值。
02 · 概念
换底公式的推导与使用
设 log_a b=x，则 a^x=b。对两边取以 c 为底的对数，得 x log_c a=log_c b，从而 log_a b=log_c b/log_c a。
其中 a、c>0 且都不等于 1，b>0。令 c=10 或 c=e 可配合计算器；当 b≠1 时令 c=b，可得互为倒数关系 log_a b·log_b a=1。
03 · 方法
选择新底数并化简
- 01
检查原底数、真数以及拟选新底数都满足对数定义条件。
- 02
根据已知幂关系或计算工具选择便于约分的新底数。
- 03
将真数的对数置于分子、原底数的对数置于分母，并用指数关系继续化简。
04 · 例题
把方法落到具体问题
计算 log₈4。
解
- 1
8 和 4 都是 2 的幂，选择 2 作为新底数。
- 2
由换底公式，log₈4=log₂4/log₂8。
- 3
log₂4=2，log₂8=3，所以比值为 2/3。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 换底公式把任意合法对数转为同底对数之比。
- 新底数可按已知幂关系或计算工具灵活选择。
- 互换底数与真数所得两个对数互为倒数。