14.3
等差数列
研究等差数列的通项与性质，并理解它和一元一次函数的联系。
本文章目录
01 · 出发点
相邻项保持固定差
如果每一步增加或减少同一个量，所形成的数列具有稳定的线性变化。例如每排座位比前一排多 3 个，就得到公差为 3 的等差数列。
等差数列的本质是相邻两项之差恒定。沿序号方向每前进一步增加一个公差，因此通项关于 n 是一次式。
02 · 概念
公差、通项与一次函数联系
数列 {a_n} 为等差数列，当且仅当存在常数 d，使 a_{n+1}-a_n=d。由连续累加可得 a_n=a_1+(n-1)d。
任意两项满足 a_n-a_m=(n-m)d；若 p+q=r+s，则 a_p+a_q=a_r+a_s。特别地，等距三项满足 2a_n=a_{n-k}+a_{n+k}。
03 · 方法
识别并求解等差关系
- 01
设基本量：通常以首项 a_1 和公差 d 为未知量，把已知项翻译成线性方程。
- 02
利用下标差：已知两个非首项时，优先使用 a_n-a_m=(n-m)d 求公差。
- 03
求解并检验：得到通项后代回至少两个已知项，再计算目标项或判断单调性。
04 · 例题
把方法落到具体问题
等差数列 {a_n} 中，a_3=7，a_8=22，求通项公式和 a_20。
解
- 1
利用两项之差：a_8-a_3=(8-3)d，所以 22-7=5d，得到 d=3。
- 2
由 a_3=a_1+2d 得 a_1=7-6=1，因此 a_n=1+3(n-1)=3n-2。
- 3
代入 n=20，a_20=3×20-2=58；同时代入 n=8 可复核得到 22。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 等差数列由相邻项之差为常数定义。
- 通项 a_n=a_1+(n-1)d 呈现序号与项值之间的线性关系。
- 下标和相等时的项和性质可简化大量计算。