17.4
双曲线的定义与方程
由到两焦点距离之差的绝对值为常数建立双曲线。
本文章目录
01 · 出发点
距离之差固定为何出现两支
如果动点到两个定点的距离之差的绝对值保持不变，点不能围成封闭曲线，而会分布在两条分离的分支上，这就是双曲线。
定义中的绝对值不可省略，它对应左右两支。距离差常数 2a 必须小于焦距 2c；等于焦距时，轨迹退化为两条以焦点为端点、分别背向另一焦点的射线。
02 · 概念
焦点定义与标准方程
平面内到 F_1、F_2 的距离之差的绝对值为常数 2a，且 0<2a<|F_1F_2|=2c 的点的轨迹是双曲线。令 b^2=c^2-a^2。
焦点在 x 轴时标准方程为 x^2/a^2-y^2/b^2=1；焦点在 y 轴时为 y^2/a^2-x^2/b^2=1。正项所在轴就是实轴和焦点轴。
03 · 方法
由焦点和距离差确定双曲线
- 01
由焦点确定焦点轴与 c，由距离差的绝对值确定 a，并检查 0<a<c。
- 02
计算 b^2=c^2-a^2，正项放在焦点轴对应坐标的平方项下。
- 03
写出标准方程后用顶点检验距离差，并确认定义使用绝对值。
04 · 例题
把方法落到具体问题
双曲线焦点为 (-5,0)、(5,0)，点到两焦点距离差的绝对值为 6，求标准方程。
解
- 1
焦点在 x 轴，2c=10，所以 c=5；2a=6，所以 a=3，且 a<c。
- 2
由 b^2=c^2-a^2=25-9=16，得到 b=4。
- 3
正项在 x^2 下，方程为 x^2/9-y^2/16=1；顶点 (3,0) 到两焦点距离为 2、8，差的绝对值为 6。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 双曲线由到两焦点距离差的绝对值为小于焦距的正常数定义。
- 标准方程的正项决定开口和焦点所在的轴。
- 双曲线参数满足 c^2=a^2+b^2。