22.2
建立数学模型
选择函数、几何或概率统计结构表达变量关系。
本文章目录
01 · 出发点
选择能够表达关键关系的数学结构
同一现实问题可以用函数、方程、几何图形、概率分布或优化模型表达。模型越复杂不一定越好，关键是它是否捕捉了与目标有关的主要机制。
建立模型要把变量关系写成数学语言，并同时给出参数含义、单位、定义域和约束。只有公式而没有解释的表达式还不是完整模型。
02 · 概念
模型结构、参数与约束
函数模型描述输入与输出关系，概率模型描述不确定性，优化模型在约束下寻找最优方案。选择结构时应依据数据图形、机制知识和研究目的。
参数应能由数据估计或由背景给定。量纲检查可以快速发现错误：等式两边必须具有一致单位，不能把人数与时间直接相加。
03 · 方法
从关系假设到数学表达
- 01
根据散点图、守恒关系或过程机制提出候选模型。
- 02
写清变量、参数、单位、定义域和全部约束。
- 03
比较候选模型的解释性、数据需求和可检验性，选择合适复杂度。
04 · 例题
把方法落到具体问题
一辆车以近似恒定速度行驶，出发时里程表为 12000 km，2 小时后为 12160 km。建立 t 小时后的里程模型。
解
- 1
设 M(t) 为 t 小时后的里程表读数，单位 km，研究范围取 0≤t≤2。
- 2
恒定速度假设对应一次函数，速度为 (12160-12000)/2=80 km/h。
- 3
初始里程为 12000，因此 M(t)=12000+80t。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 模型结构应由机制、数据和目标共同决定。
- 变量、参数、单位、定义域和约束都是模型的一部分。
- 能够回答问题的简单模型通常比无法解释的复杂模型更有价值。