6.4
常见函数模型
识别一次、二次、幂、指数、对数和分段函数模型。
本文章目录
01 · 出发点
从变化特征识别合适的函数族
实际数据背后可能是固定增量、固定倍率、先增后减或分阶段计费。识别这些变化特征，比机械尝试每一种公式更有效。
一次、二次、幂、指数、对数和分段函数各有典型图象与参数意义。模型的选择要同时参考情境机制、数据趋势和变量范围。
02 · 概念
常见模型及其信号
固定单位增量常对应一次模型；存在抛物线型最值常对应二次模型；尺度关系 y=kx^α 对应幂模型；相等时间乘固定倍率对应指数模型。
快速增长后逐渐变缓可由对数模型描述，不同区间规则不同则使用分段模型。参数应由已知条件或数据确定，并带有适当单位。
03 · 方法
从情境选择函数模型
- 01
明确自变量、因变量、单位和研究区间，观察差值、比值或图象弯曲特征。
- 02
依据变化机制选出候选函数族，再用初值和其他数据求参数。
- 03
用未参与定参的数据检验误差，并解释模型在给定范围内是否合理。
04 · 例题
把方法落到具体问题
某培养物初始有 500 个细胞，每 3 小时数量变为原来的 2 倍。建立 t 小时后的数量模型，并求 9 小时后的数量。
解
- 1
每 3 小时乘 2，属于固定时间按固定倍率变化，应选择指数模型。
- 2
经过 t 小时相当于经历 t/3 个倍增周期，因此 N(t)=500·2^(t/3)，t≥0。
- 3
代入 t=9 得 N(9)=500·2³=4000。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 差值、比值和分段机制是识别模型的重要信号。
- 模型参数必须由条件或数据确定并具有解释。
- 选择模型后还需用数据与情境进行检验。