10.4
复数的模
把复数的模理解为复平面内点到原点的距离。
本文章目录
01 · 出发点
用距离理解复数的模
实数的绝对值是数轴上点到原点的距离。复数的模把这一概念推广到复平面，是对应点到原点的欧氏距离。
两个复数之差的模则表示它们对应点之间的距离，因此含模方程常可翻译成圆、直线或轨迹问题。
02 · 概念
模、距离与基本性质
若 z=a+bi，则 |z|=sqrt(a^2+b^2)。模是非负实数，且 |z|=0 当且仅当 z=0；z 与共轭 z 的模相等。
|z1z2|=|z1||z2|，除数非零时 |z1/z2|=|z1|/|z2|。距离方程 |z-z0|=r 在 r>0 时表示以 z0 对应点为圆心、r 为半径的圆；r=0 时只有点 z0，r<0 时无解。
03 · 方法
计算模并识别轨迹
- 01
将复数整理为 a+bi，使用平方和开方计算模，结果取非负值。
- 02
含两个复数的模先识别为对应点间距离，再判断定长、等距或距离和差条件。
- 03
利用模的乘除性质简化乘积商，并通过坐标距离复核数值。
04 · 例题
把方法落到具体问题
设 z=x+yi，描述满足 |z-(1-2i)|=3 的点 z 的轨迹。
解
- 1
z-(1-2i)=(x-1)+(y+2)i。
- 2
取模得 sqrt((x-1)^2+(y+2)^2)=3。
- 3
两边平方得到 (x-1)^2+(y+2)^2=9，这是圆的标准方程。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 复数的模是对应点到原点的距离。
- 复数差的模是两对应点之间的距离。
- 定距离的复数方程常表示圆。