复数的模

01 · 出发点

用距离理解复数的模

实数的绝对值是数轴上点到原点的距离。复数的模把这一概念推广到复平面，是对应点到原点的欧氏距离。

两个复数之差的模则表示它们对应点之间的距离，因此含模方程常可翻译成圆、直线或轨迹问题。

02 · 概念

模、距离与基本性质

若 $z=a+bi$，则 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。模是非负实数，且 $|z|=0\iff z=0$；$z$ 与共轭 $\bar z$ 的模相等。

$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$，除数非零时 $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$。距离方程 $|z-z_0|=r$ 在 $r>0$ 时表示以 $z_0$ 对应点为圆心、$r$ 为半径的圆；$r=0$ 时只有点 $z_0$，$r<0$ 时无解。

03 · 方法

计算模并识别轨迹

1. 01

   将复数整理为 $a+bi$，使用平方和开方计算模，结果取非负值。

2. 02

   含两个复数的模先识别为对应点间距离，再判断定长、等距或距离和差条件。

3. 03

   利用模的乘除性质简化乘积商，并通过坐标距离复核数值。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界