7.9
余切与求角
认识余切及其与正切的关系，并根据三角函数值、象限和取值范围确定角。
本文章目录
01 · 出发点
由三角函数值、象限与范围共同确定角
余切是余弦与正弦的比，也可看作正切的倒数。一个三角函数值通常对应无穷多个角，因此求角必须同时使用周期、象限和题目给定范围。
参考角提供函数值的绝对值，象限提供符号，周期生成全部同值角。三部分结合后，才能完整且不重复地列出答案。
02 · 概念
余切的定义、性质与求角框架
当 sin α≠0 时，cot α=cos α/sin α；当 tan α 有定义且非零时，cot α=1/tan α。余切最小正周期为 π，定义域排除 α=kπ。
给定三角函数值求角时，先由绝对值确定 [0,π/2] 内的参考角，再由函数值符号选择象限，最后利用相应周期写全体解或筛选指定区间。
03 · 方法
根据三角函数值求角
- 01
由给定值的绝对值识别特殊参考角，或用反三角函数得到参考角。
- 02
依据正负号确定允许象限，在一个基本周期内列出所有对应角。
- 03
利用 π 或 2π 周期生成通解，并与题目指定区间取交集。
04 · 例题
把方法落到具体问题
已知 cot α=-√3，求 α∈[0,2π) 的所有取值。
解
- 1
因为 cot(π/6)=√3，所以参考角为 π/6。
- 2
余切为负表示正弦与余弦异号，角位于第二或第四象限。
- 3
第二象限角为 π-π/6=5π/6，第四象限角为 2π-π/6=11π/6。
- 4
两角相差 π，符合余切的 π 周期，且都在指定区间内。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
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本节小结
- 余切等于余弦与正弦之比，定义要求正弦非零。
- 余切最小正周期为 π。
- 完整求角需要参考角、象限、周期和给定范围。