15.8
最优化问题
把实际目标与约束转化为函数并用导数求最优解。
本文章目录
01 · 出发点
把现实约束写成一个目标函数
用料最省、利润最大、距离最短等实际问题都要求在约束条件下选择最优方案。导数提供寻找候选最优值的工具，但模型是否准确决定结果是否有现实意义。
建模时应先确定目标量和可调变量，再用约束消去多余变量。所得函数的定义域不是纯代数定义域，而是由长度、数量、容量等实际条件共同限制。
02 · 概念
可行域、驻点与最优解
最优化的一般结构是：在可行域 D 内，使目标函数 f(x) 取最大或最小值。导数用于分析 f 在 D 上的增减和极值，端点或边界方案同样可能最优。
求得数学最优点后，要还原其他变量，检查是否满足全部约束，并用原问题要求的单位、精度和离散规则表述。
03 · 方法
从建模到验证最优方案
- 01
设变量并列约束：说明每个变量含义、单位和允许范围，用等式或不等式表达条件。
- 02
建立一元目标函数，求导并分析可行域内临界点以及必要的边界值。
- 03
比较候选方案，恢复所有实际量，检查约束后写出带单位的最优结论。
04 · 例题
把方法落到具体问题
用 100 米围栏围成靠墙的矩形，墙的一边不用围。两条垂直于墙的边各为 x 米，求面积最大时的边长。
解
- 1
设平行于墙的需围边为 y 米，则 2x+y=100，故 y=100-2x，且 0<x<50。
- 2
面积 A(x)=xy=x(100-2x)=100x-2x^2，导数 A'(x)=100-4x。
- 3
A'(x)=0 得 x=25；导数在 x<25 时为正、x>25 时为负，所以取最大值。此时 y=50，面积为 25×50=1250。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 实际最优化先建模，再求导，最后回到情境解释。
- 目标函数必须与包含现实限制的可行域一起确定。
- 导数符号、端点比较和约束复核共同保证最优结论。