向量的数量积

01 · 出发点

用一个数刻画两个向量的方向关系

向量的线性运算结果仍是向量，而数量积把两个向量映射为一个实数。这个数同时包含两向量的长度和夹角信息。

物理中的功等于力与位移的数量积；几何中则可借它求长度、夹角以及判断垂直。

02 · 概念

数量积的定义与坐标公式

非零向量 a、b 的数量积定义为 |a||b|cos theta，其中 theta 是它们的夹角；零向量与任意向量的数量积为 0。数量积满足交换律和分配律。

若 a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则 a·b=x1x2+y1y2。特别地，a·a=|a|^2，可由此计算模或夹角余弦。

03 · 方法

求长度、夹角与垂直

1. 01

   坐标已知时先计算数量积和两个模，再由 cos theta=(a·b)/(|a||b|) 求夹角。

2. 02

   判断非零向量垂直时检验数量积是否为 0；求长度时使用 |a|^2=a·a。

3. 03

   含参数问题把数量积条件写成代数方程，解出参数后还要检查向量是否为零向量。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界