抛物线的定义与方程

01 · 出发点

到定点与定直线等距的轨迹

到一个定点和一条不经过该点的定直线距离相等的点形成抛物线。定点称为焦点，定直线称为准线，两者共同决定开口方向和尺度。

选择顶点为原点、对称轴为坐标轴，可以把距离等式化为最简标准方程。抛物线只有一个焦点，也只有一个无限延伸的分支。

02 · 概念

焦点、准线与标准方程

若焦点为 (p/2,0)、准线为 x=-p/2（p>0），由距离相等可得 y^2=2px，抛物线向右开口。把 x、y 或 p 的符号改变可得到另外三种方向。

方程 y^2=-2px 向左，x^2=2py 向上，x^2=-2py 向下。平方变量对应垂直于开口轴的方向，一次变量的正负决定开口方向。

03 · 方法

由开口方向选择标准式

1. 01

   由焦点和准线确认它们的中间位置是顶点，并确定对称轴与开口方向。

2. 02

   求参数 p，即焦点到准线的距离，按方向选择四种标准形式之一。

3. 03

   用任意明显点检验其到焦点距离与到准线距离相等，并核对焦点坐标中的 p/2。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界