16.7
圆与圆的位置关系
根据圆心距与半径关系判断两个圆的位置。
本文章目录
01 · 出发点
两圆相交、相切还是分离
两个圆的位置由圆心距 d 和两个半径 r_1、r_2 决定。把一个圆绕圆心保持半径不变地移动，公共点个数只会在若干临界距离处改变。
外切的临界距离是半径之和，内切的临界距离是半径之差的绝对值。位于两者之间时两圆相交于两点。
02 · 概念
圆心距与半径和差
当 d>r_1+r_2 时外离，d=r_1+r_2 时外切，|r_1-r_2|<d<r_1+r_2 时相交，d=|r_1-r_2|>0 时内切，0<d<|r_1-r_2| 时内含。
d=0 时两圆同心：半径相等则重合，半径不同则没有公共点。相交两圆的公共弦所在直线可由两个圆方程相减消去 x^2、y^2 得到。
03 · 方法
比较三个长度判断位置
- 01
由标准方程或配方确定两个圆心和半径，使用两点距离公式求圆心距 d。
- 02
按 d 与 r_1+r_2、|r_1-r_2| 的完整顺序比较，给出准确位置关系。
- 03
需要公共点时将两圆方程相减得到公共弦直线，再与任一圆联立并检验。
04 · 例题
把方法落到具体问题
圆 C_1:x^2+y^2=9 与 C_2:(x-4)^2+y^2=4 有怎样的位置关系？求其公共点。
解
- 1
两圆圆心分别为 (0,0)、(4,0)，半径分别为 3、2，故 d=4；因为 1<4<5，两圆相交。
- 2
用 C_2 方程减 C_1 方程：-8x+16=4-9=-5，解得 x=21/8。
- 3
代入 x^2+y^2=9，得 y^2=9-441/64=135/64，所以 y=±3√15/8。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 圆心距与半径和、半径差共同决定两圆位置。
- 方程相减可消去二次项并得到相交圆的公共弦直线。
- 同心情形需要根据半径是否相等单独判断。