11.7
空间角
理解异面直线所成角、线面角和二面角。
本文章目录
01 · 出发点
把空间角转化为平面角
异面直线、直线与平面、两个平面之间都可以定义角，但这些角不能直接在同一平面图形中读取。
求空间角的核心是通过平移、射影或垂面构造代表角，再在一个三角形中进行计算。
02 · 概念
三类空间角的定义
异面直线所成角通过过一点分别作两直线的平行线得到，取锐角或直角。直线与平面所成角是斜线与其在平面内射影的夹角，范围为 [0,pi/2]。
二面角由棱上同一点出发，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，它们所成的角称为二面角的平面角，范围为 [0,pi]。
03 · 方法
作出并求解空间角
- 01
按定义作代表角：异面线用平行移动，线面角找垂足和射影，二面角在棱上作两个垂线方向。
- 02
证明所作角确实满足定义，再寻找包含该角的直角三角形或使用向量数量积。
- 03
计算后按各类空间角的规定范围选值，并结合图形检查锐钝性。
04 · 例题
把方法落到具体问题
棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求直线 AC1 与底面 ABCD 所成角。
解
- 1
C1 在底面 ABCD 上的正射影是 C，所以 AC 是 AC1 在底面内的射影，所求角为 ∠C1AC。
- 2
在直角三角形 ACC1 中，CC1=1，AC=sqrt2，AC1=sqrt3。
- 3
因此 sin∠C1AC=CC1/AC1=1/sqrt3，故角为 arcsin(1/sqrt3)。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 空间角需要按定义构造代表平面角。
- 线面角由斜线及其射影构成。
- 求角后必须按规定范围确定最终值。