6.2
零点存在定理
利用连续函数端点异号判断区间内零点的存在。
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01 · 出发点
连续图象跨过横轴就必有零点
若一条连续曲线在区间左端位于横轴下方、右端位于横轴上方，那么它从一端走到另一端时必然经过横轴。零点存在定理把这一图象直觉写成可用的判定条件。
端点异号给出“至少有一个零点”，并不自动保证只有一个。要证明唯一性，通常还需要严格单调等额外性质。
02 · 概念
连续性、异号与存在性
若函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f(a)f(b)<0，则在开区间 (a,b) 内至少存在 c，使 f(c)=0。连续与严格异号是这一版本定理的关键条件。
定理是充分条件而不是必要条件：端点同号时区间内仍可能有零点；偶重零点附近函数不变号。定理也只确认存在，不能直接给出零点数值。
03 · 方法
证明某区间内存在零点
- 01
确认函数在目标闭区间上连续，排除分母为零、分段跳跃等问题。
- 02
计算两个端点函数值，寻找乘积小于 0 的异号区间。
- 03
引用零点存在定理给出存在结论；若题目要求唯一，再证明该区间上的严格单调性。
04 · 例题
把方法落到具体问题
证明方程 x³-x-1=0 在区间 (1,2) 内至少有一个实根。
解
- 1
设 f(x)=x³-x-1，它是多项式函数，因此在 [1,2] 上连续。
- 2
计算 f(1)=1-1-1=-1，f(2)=8-2-1=5。
- 3
端点函数值乘积为 -5<0，由零点存在定理，存在 c∈(1,2) 使 f(c)=0。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 连续函数在端点异号时必在区间内部出现零点。
- 该定理给出充分条件和存在结论。
- 唯一性通常要结合严格单调性另行证明。