10.5
复数的三角表示
联系复数的代数表示与三角表示，了解乘除运算的几何意义。
本文章目录
01 · 出发点
用模与辐角表示复数
非零复数在复平面中既可由直角坐标 (a,b) 描述，也可由到原点的距离 r 和方向角 theta 描述。后一方式就是复数的三角表示。
三角表示尤其适合乘除运算：模相乘或相除，辐角相加或相减，几何上对应伸缩与旋转。
02 · 概念
三角形式、辐角与乘除法
非零复数 z=a+bi 可写成 r(cos theta+i sin theta)，其中 r=|z|>0，theta 满足 cos theta=a/r、sin theta=b/r。theta 的所有值相差 2kpi。
两个非零复数相乘时模相乘、辐角相加；相除时模相除、辐角相减。由此可得棣莫弗公式 [r(cos theta+i sin theta)]^n=r^n(cos ntheta+i sin ntheta)，其中 n∈Z；负整数次幂要求 z≠0。
03 · 方法
在代数形式与三角形式间转换
- 01
由 a+bi 先算 r=sqrt(a^2+b^2)，再由点所在象限和正余弦值确定辐角。
- 02
乘除时分别处理模与辐角，最后按题意保留三角形式或展开为 a+bi。
- 03
幂运算使用棣莫弗公式，并将角化到易识别范围检查周期性。
04 · 例题
把方法落到具体问题
把 z=1+i 写成三角形式，并求 z^3。
解
- 1
模 r=sqrt(1^2+1^2)=sqrt2；点 (1,1) 在第一象限，可取辐角 theta=pi/4。
- 2
因此 z=sqrt2(cos(pi/4)+i sin(pi/4))。
- 3
由棣莫弗公式，z^3=2sqrt2(cos(3pi/4)+i sin(3pi/4))=-2+2i。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 非零复数由模和辐角描述。
- 复数乘除对应模的乘除与辐角的加减。
- 棣莫弗公式高效处理复数整数次幂。