9.1
两角差的余弦公式
从向量数量积推导两角差的余弦公式。
本文章目录
01 · 出发点
从向量夹角得到角差公式
两条单位向量分别与 x 轴正方向成 alpha、beta 角，它们的夹角与 alpha-beta 有关。用数量积的两种算法比较，就能得到两角差的余弦公式。
这条公式是和差公式体系的起点，也说明三角恒等式并非孤立记忆，而可由单位圆和向量运算推导。
02 · 概念
两角差的余弦公式
取 a=(cos alpha,sin alpha)、b=(cos beta,sin beta)，由坐标公式 a·b=cos alpha cos beta+sin alpha sin beta。
两单位向量夹角的余弦为 cos(alpha-beta)，比较两式即得公式。公式对任意实数 alpha、beta 成立。
03 · 方法
使用角差余弦公式
- 01
把目标角拆成两个特殊角之差，优先选择三角函数值已知的角。
- 02
严格按 cos alpha cos beta+sin alpha sin beta 展开并保留各角所在象限的符号。
- 03
也可反向识别形如 cos alpha cos beta+sin alpha sin beta 的式子，将其合并为 cos(alpha-beta)。
04 · 例题
把方法落到具体问题
不用计算器求 cos 15° 的精确值。
解
- 1
把 15° 写成 45°-30°。
- 2
套用角差公式：cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30°。
- 3
代入特殊角值，得 (sqrt2/2)(sqrt3/2)+(sqrt2/2)(1/2)=(sqrt6+sqrt2)/4。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 角差余弦公式可由单位向量数量积推导。
- 公式既能展开角差，也能反向合并式子。
- 结果应结合角所在象限检查符号和大小。