16.9
简单参数方程
用参数表示直线、圆等简单曲线，并在参数方程与普通方程之间转换。
本文章目录
01 · 出发点
让第三个变量带着点沿曲线运动
普通方程直接约束 x、y，参数方程则让 x、y 同时由第三个变量 t 决定。随着 t 变化，点 (x(t),y(t)) 描出曲线。
参数可以表示时间、转角或有向位移。它不仅描述曲线上的点集，还能携带运动方向和取值范围；消去参数时这些附加信息不能丢失。
02 · 概念
参数、点集与方向信息
过点 (x_0,y_0)、方向向量 (a,b)≠(0,0) 的直线可写 x=x_0+at，y=y_0+bt。圆心 (h,k)、半径 R>0 的圆可写 x=h+R cos t，y=k+R sin t。
参数方程化普通方程通常通过代入、消元或恒等式 sin^2t+cos^2t=1。普通方程参数化则需选择能自动满足方程的参数表达，并写明参数范围。
03 · 方法
消参时保留参数范围
- 01
识别参数的几何意义和范围，确认每个参数值对应的点以及是否覆盖整条曲线。
- 02
消参时从一个方程解出 t 代入另一个，或利用平方和恒等式；同时保留由参数范围产生的限制。
- 03
转换后任选参数值生成点，检查该点满足普通方程，并核对方向或曲线范围。
04 · 例题
把方法落到具体问题
已知 x=1+2t，y=3-t（t∈R），化为普通方程，并求 t=2 时的点。
解
- 1
由 x=1+2t 解得 t=(x-1)/2。
- 2
代入 y=3-t，得 y=3-(x-1)/2，即 x+2y-7=0；因 t 遍历 R，所得是整条直线。
- 3
当 t=2 时，x=5、y=1；代入普通方程得 5+2-7=0。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 参数方程用同一参数协调两个坐标并描述曲线生成过程。
- 直线和圆都有自然的参数表示，参数还可携带方向与范围信息。
- 参数方程与普通方程互化时必须同时核对点集和参数范围。